Андрей Александрович Горбачев родился в 1970 году в Воронеже. Закончил ДМШ № 1 г. Воронежа (ныне ССМШ «Музыкальный колледж»). В 1988 году закончил Воронежское музыкальное училище (экстерном) у И. В. Иншакова. С 1988 по 1989 год служил в ансамбле песни и пляски Балтийского флота. В 1994 году закончил ГМПИ им. Гнесиных (класс проф. П. И. Нечепоренко). В 1997 году закончил ассистентуру — стажировку РАМ им. Гнесиных (без научного руководителя).

Первое выступление на сцене состоялось в 1978 году. В 1992 году А. Горбачев совместно с Татьяной Ханиновой (выпускница ЦМШ при МГК им. П. И. Чайковского и ГМПИ им. Гнесиных, заслуженная артистка России) получил Гран-при и специальную премию «За артистизм» на Первом Международном конкурсе исполнителей на народных инструментах «Кубок Севера» (г. Череповец). В 1993 году — первую премию и специальную премию «За лучший ансамбль» на Первом Международном конкурсе исполнителей на русских народных инструментах им. В. В. Андреева (г. Тверь).

Педагогической деятельностью А. Горбачев начал заниматься в 1997 году в Тамбовском государственном музыкально-педагогическом институте им. С. В. Рахманинова. С 2000 г. преподает в РАМ им. Гнесиных. С 2004 г. — доцент, заведующий кафедрой струнных народных инструментов РАМ им. Гнесиных. С 2010 г. — профессор.

А. Горбачев выступал перед Королевой Англии Елизаветой II (1992), Президентами России Б. Н. Ельциным (1994), В. В. Путиным (2012), Президентом Швейцарии Дорис Лаутхард (2010), Президентом Финляндии Тарьей Халопонен (2010).

С 1993 года А. Горбачев в составе «Классик-дуэта» с заслуженной артисткой России Т. Ханиновой начал гастролировать по России и за рубежом. Характерные черты исполнительского стиля А. Горбачева: яркость, эмоциональность и своеобычие интерпретаторских решений, безупречное техническое мастерство, эффект «слияния тембров» двух инструментов за счет необычного динамического баланса и особого характера туше.

С 2011 года выступает с Народным артистом России Д. Мацуевым в его джазовых проектах.

А. Горбачев значительно расширил технические и художественные возможности балалайки, разработал новые решения проблем, связанных со звукоизвлечением: гитарное пиццикато в сочетании с pizz.(1) и pizz.(2), использование октавного тремоло, широкопозиционных аппликатур левой руки. А. Горбачев предложил способы звукоизвлечения, характерные для верхнего регистра балалайки. По его предложению мастером Е. Н. Виноградовым были впервые изготовлены инструменты с 31-им ладом.

С 1997 по 2009 г. А. Горбачев работал солистом-инструменталистом Вологодской государственной областной филармонии им. В. А. Гаврилина.

А.Горбачев сыграл более тридцати мировых премьер новых оригинальных сочинений для балалайки.

Специально для А. Горбачева написали композиторы: С. М. Слонимский, Е. И. Подгайц, М. Б. Броннер, К. Е. Волков, А. И. Кусяков, А. А. Цыганков, А. Г. Тихомиров, А. Г. Рогачев, М. И. Цайгер, Т. А. Чудова, В. Д. Зубицкий, Е. П. Дербенко, В. В. Беляев, О. В. Осипова, Е. К. Крючков, Д. В. Захаров, А. П. Исакова, Н. Н. Хондо.

Балалайка А. Горбачева изготовлена с использованием лопастной вертолетной стали.